Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是該橢圓上一個(gè)動點(diǎn)，且|PF₁|+|PF₂|=8，|F1F2|=4

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求出以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，可得2a=|PF₁|+|PF₂|=8，從而得到a=4．再根據(jù)焦距|F1F2|=4

3

得到c=2

3

，利用平方關(guān)系算出b²的值，即可得到橢圓E的方程；
（2）設(shè)以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦方程為y-1=k（x-1），與橢圓E方程消去y，得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4k²-8k-12=0，
再由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列式，即可解出斜率k=-

1

4

，進(jìn)而可以得到以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

解答：解：（1）∵橢圓上一個(gè)動點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=8，
∴2a=8，可得a=4
又∵焦距2c=|F1F2|=4

3

，∴c=2

3

，可得b²=a²-c²=4
因此，橢圓E的方程是：

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）根據(jù)題意，以M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率是存在的
設(shè)以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦方程為y-1=k（x-1），與橢圓

x2

16

+

y2

4

=1聯(lián)解消去y，
得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4k²-8k-12=0，
設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=

8k(k-1)

1+4k2

∵M(jìn)（1，1）為弦AB的中點(diǎn)，
∴

1

2

（x₁+x₂）=1，可得

8k(k-1)

1+4k2

=2，解之得k=-

1

4

因此，以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為y-1=-

1

4

（x-1），
化簡整理得x+4y-5=0，即為所求直線方程．

點(diǎn)評：本題給出橢圓E的特征，求橢圓E方程并求以M為中點(diǎn)的弦所在直線方程，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．