Question

（2009•閔行區(qū)二模）（理）已知橢圓

x=acosθ y=bsinθ

（θ為參數）上的點P到它的兩個焦點F₁、F₂的距離之比|PF1|：|PF2|=2：

3

，且∠PF1F2=α(0＜α＜

π

2

)，則α的最大值為（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．arccos

  2 3

  3

Answer 1

分析：本選擇題利用特殊值法解決，不妨設|PF₁|=2，|PF2|=

3

，|F₁F₂|=2c，在△PF₁F₂中由余弦定理結合基本不等式得cosα的取值范圍，從而得出α的最大值．

解答：解：不妨設|PF₁|=2，|PF2|=

3

，|F₁F₂|=2c，
則2a=2+

3

⇒a=

1

2

（2+

3

），
∴c＜a=

1

2

（2+

3

），
在△PF₁F₂中，由余弦定理得：cosα=

PF 1 2+F  1F 2 2-PF   2 2

2PF 1•F 1F 2

=

4+4c 2-3

8c

=

1+4c 2

8c

∵

1+4c 2

8c

=

1

8c

+

c

2

≥2

1 8c • c 2

=

1

2

，當且僅當c=

1

2

時取等號，
∴cosα的最小值為

1

2

，結合0＜α＜

π

2

得0＜α≤

π

3

則α的最大值為

π

3

．
故選：C

點評：本小題主要考查橢圓的參數方程、余弦定理、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．