Question

已知直線l：y=x+k經(jīng)過橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，(a＞1)的右焦點F₂，且與橢圓C交于A、B兩點，若以弦AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的左焦點F₁，試求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：由題意知橢圓焦距c=1，F(xiàn)₂（1，0），代入y=x+k，得k=-1，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用垂直關系即可求得a值，由此能求出橢圓方程．

解答：解：設橢圓焦距為2c，則c=

a2-(a2-1)

=1…（1分）
∴F₂（1，0），代入y=x+k  得k=-1
將y=x-1代入橢圓方程整理得：（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0…（4分）
∵A、B點在直線l上，設A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1）
∵AF₁⊥BF₁  又F₁（-1，0）
∴

x1-1

x1+1

•

x2-1

x2+1

=-1，即x1x2=-1…（8分）  
由韋達定理，

2a2-a4

2a2-1

=-1
解得a2=2+

3

或a2=2-

3

(∵a＞1舍)…（10分）
∴a2-1=2+

3

-1=1+

3

∴

x2

2+ 3

+

y2

1+ 3

=1為所求方程．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考要直線和橢圓位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理、直線垂直等知識點的合理運用．