Question

（2012•菏澤一模）已知直線l：y=x+

6

，圓O：x²+y²=5，橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

3

．直線l截圓O所得的弦長與橢圓的短軸長相等．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線．若切線都存在斜率，求證這兩條切線互相垂直．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求直線l圓O截得的弦長，進(jìn)而可得橢圓的短軸長，利用橢圓的離心率e=

3

3

，即可確定橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P的橢圓的切線方程，代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，利用判別式為0得方程，利用韋達(dá)定理，及點(diǎn)P在圓O上，即可計(jì)算得兩條切線的斜率的積，從而可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓的半焦距為c，圓心O到l的距離為d=

6

2

=

3

∴直線l圓O截得的弦長2

2

∵直線l圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等
∴b=

2

∵橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

3

．
∴

a2-2

a2

=

1

3

∴a²=3
∴橢圓E的方程為

y2

3

+

x2

2

=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x₀，y₀），過點(diǎn)P的橢圓的切線方程為y-y₀=k（x-x₀），即y=kx+y₀-kx₀，
代入橢圓方程，消去y可得：（3+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（y₀-kx₀）²-6=0
∴△=[4k（y₀-kx₀）]²-4（3+2k²）[2（y₀-kx₀）²-6]=0
即（2-x02）k²+2kx₀y₀-（y02-3）=0
∴兩條切線的斜率的積為-

y02-3

2-x02

∵點(diǎn)P在圓O上，∴x02+y02=5，∴-

y02-3

2-x02

=-

5-x02-3

2-x02

=-1
∴兩條切線的斜率的積為-1
∴兩條切線互相垂直．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，聯(lián)立方程，計(jì)算斜率是關(guān)鍵．