Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)， ，動(dòng)點(diǎn)滿足.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若直線與軌跡有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，求證：以為直徑的圓過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的定義判定軌跡為橢圓，并求出，a,b,從而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）以為直徑的圓過定點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為，利用向量可比較容易證明,先聯(lián)立方程，消元得，可得， ，從而， ，根據(jù)數(shù)量積為0即可證明.

試題解析：

（1）解：因?yàn)?/span>

即

由橢圓定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓

所以，

所以橢圓的方程為.

（2）證明：由，

消去得

如圖，設(shè)點(diǎn)，依題意，

∵直線與軌跡有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)

∴由，

可得.

此時(shí)， ，即， ，

∴，

由，解得

∴

由

可得，

∴

∴

∴以為直徑的圓過定點(diǎn).