Question

19．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB=$\frac{π}{3}$，點E，F分別在BC，DC邊上，且$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{FC}$，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{EF}$=-3．

Answer 1

分析 由條件即可得出$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{EC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，而$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}$，這樣即可用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$分別表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{EF}$，然后進行數量積的運算即可．

解答 解：根據條件，$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{EF}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}）•（\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}）$
=$（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$
=$-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\frac{2}{9}{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=-8+3+2
=-3．
故答案為：-3．

點評 考查向量數乘的幾何意義，向量加法的幾何意義，以及向量數量積的運算及計算公式．