給出下面的數(shù)表序列:
表1 表2 表3
1 1   3 1   3   5
4 4   8
12
其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5,…,2n-1,從第2行起,每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.
(1)寫(xiě)出表4,驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明);
(2)每個(gè)數(shù)表中最后一行都只有一個(gè)數(shù),它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12,…,記此數(shù)列為{bn},求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
分析:(1)利用給出的規(guī)律即可得出表4,進(jìn)而得到每一行的平均數(shù),即可判斷出是否出等比數(shù)列,并按其規(guī)律進(jìn)行推廣.
(2)由(1)知,表n中最后一行的唯一一個(gè)數(shù)為bn=n•2n-1.利用“錯(cuò)位相減法”即可得出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
解答:解:(1)表4為
1    3    5    7
4    8   12
12  20
32
它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.
將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3),
表n的第1行是1,3,5,…,2n-1,其平均數(shù)是
1+3+5+…+(2n-1)
n
=n

即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n,公比為2的等比數(shù)列.
(2)由(1)知,表n中最后一行的唯一一個(gè)數(shù)為bn=n•2n-1
設(shè)Sn=b1+b2+…+bn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1  ①
2Sn=1×21+2×22+3×23…+(n-1)•2n-1+n•2n  ②
由①-②得,-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n,
整理,得Sn=(n-1)•2n+1
點(diǎn)評(píng):正確理解題意和熟練掌握等比數(shù)列的定義及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、平均數(shù)的計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下面的數(shù)表序列,其中表n(n=1,2,3 …)有n行,表中每一個(gè)數(shù)“兩腳”的兩數(shù)都是此數(shù)的2倍,記表n中所有的數(shù)之和為an,例如a2=5,a3=17,a4=49.則:
(1)a5=
 

(2)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下面的數(shù)表序列:
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其中表n(n=1,2,3 …)有n行,第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5,…2n-1,從第2行起,每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.
(I)寫(xiě)出表4,驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明);
(II)每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù),它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12…,記此數(shù)列為{bn}求和:
b3
b1b2
+
b4
b2b3
+…
bn+2
bnbn+1
(n∈N+

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下面的數(shù)表序列:其中表n(n=1,2,3…)有n行,第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5,…2n-1,從第2行起,每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.寫(xiě)出表4,驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011屆湖南省長(zhǎng)沙市一中高三第三次月考文科數(shù)學(xué)卷 題型:填空題

給出下面的數(shù)表序列:

其中表nn="1,2,3" )有n行,表中每一個(gè)數(shù)“兩腳”的兩數(shù)都是此數(shù)的2倍,記表n中所有的數(shù)之和為,例如,.則
(1)     .
(2)數(shù)列的通項(xiàng)=      

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