Question

已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）記為的從小到大的第個(gè)零點(diǎn)，證明：對(duì)一切，有.

Answer 1

(1) 單調(diào)遞減區(qū)間為,
單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)詳見(jiàn)解析

試題分析:(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù),求大于0和小于0的解集得到單調(diào)減區(qū)間和單調(diào)增區(qū)間,但是必須注意正余弦的周期性和原函數(shù)的定義域.
(2)利用(1)問(wèn)的結(jié)果可知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的,即在區(qū)間上至多一個(gè)零點(diǎn),根據(jù)正余弦的函數(shù)值可得,再根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)性和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)可得函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn),即,則依次討論利用放縮法即可證明.
數(shù)求導(dǎo)可得,令可得
,當(dāng)時(shí),.此時(shí);
當(dāng)時(shí),,此時(shí),
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,
單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)由(1)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,又,所以,
當(dāng)時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240536027962055.png" style="vertical-align:middle;" />,且函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的,所以在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn),又在區(qū)間上是單調(diào)的,故,因此,
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),


,
綜上所述,對(duì)一切的,.