Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和S_n；
（Ⅱ）證明：數(shù)列{a_n+2}不可能是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列和已知a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*）求出數(shù)列的通項公式，求出

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，代入求出和．
（Ⅱ）證明：假設(shè)數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，求出數(shù)列{a_n+2}的前4項為4，6，9，14，它顯然不是等比數(shù)列，

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)其首項為a₁，公差為d，則a_n+1=a_n+d
∴由已知可得：a_n+d=2a_n-n+1；
a_n+d=a₁+（n-1）d  即a_n=n+d-1
又 a_n=a₁+（n-1）d
∴a₁=1，d=1   可得：a_n=n
∴

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1

（Ⅱ）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，
則(a2+2)2=(a1+2)(a3+2)
即∴a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=12
于是數(shù)列{a_n+2}的前4項為4，6，9，14，
它顯然不是等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n+2}不可能是等比數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列求和的方法關(guān)鍵是求出通項，觀察通項的特點，選擇合適的求和方法，屬于中檔題．