【題目】如圖1,梯形中,,,,,為中點.將沿翻折到的位置, 使如圖2.
(1)求證:平面 平面;
(2)求與平面所成角的正弦值;
(3)設(shè)、分別為和的中點,試比較三棱錐和三棱錐(圖中未畫出)的體積大小,并說明理由.
圖1 圖2
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析
【解析】
(1)先證明平面,再證明平面 平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得與平面所成角的正弦值為.(3) 先證明點、到平面的距離相等,即三棱錐和同底等高,所以體積相等.
(1)證明:由圖1,梯形中,,,,,為中點,
故圖2,,
因為,,平面,所以平面
因為平面,所以平面 平面
(2)取中點,連接,.
因為在中,,為中點,所以
因為平面 平面,平面 平面
平面,所以平面
因為在正方形中,、分別為、的中點,
所以
建系如圖. 則,,,,.
,,,
設(shè)平面的法向量為,則
,即,令得,,
所以是平面的一個方向量.
所以與平面所成角的正弦值為.
(3)三棱錐和三棱錐的體積相等.
理由如下:由,,知,則
因為平面,所以平面.
故點、到平面的距離相等,有三棱錐和同底等高,所以體積相等.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面, , , , 為中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在點,使得?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列命題的真假:
(1)點P到圓心O的距離大于圓的半徑是點P在外的充要條件;
(2)兩個三角形的面積相等是這兩個三角形全等的充分不必要條件;
(3)是的必要不充分條件;
(4)x或y為有理數(shù)是xy為有理數(shù)的既不充分又不必要條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列全稱量詞命題的真假:
(1)每一個末位是0的整數(shù)都是5的倍數(shù);
(2)線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;
(3)對任意負(fù)數(shù)的平方是正數(shù);
(4)梯形的對角線相等
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形為正方形,延長至,使得,將四邊形沿折起到的位置,使平面平面,如圖2.
(1)求證:平面;
(2)求異面直線與所成角的大。
(3)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年10月1日為慶祝中華人民共和國成立70周年在北京天安門廣場舉行了盛大的閱兵儀式,共有580臺(套)裝備、160 余架各型飛機接受檢閱。受閱裝備均為中國國產(chǎn)現(xiàn)役主戰(zhàn)裝備,其中包括部分首次公開亮相的新型裝備。例如,在無人機作戰(zhàn)第三方隊中就包括了兩型偵察干擾無人機,可以在遙控設(shè)備或自備程序控制操縱的情況下執(zhí)行任務(wù),進行對敵方通訊設(shè)施的電磁壓制和干擾,甚至壓制敵人的防空系統(tǒng)。
某作戰(zhàn)部門對某處的戰(zhàn)場實施“電磁干擾”實驗,據(jù)測定,該處的“干擾指數(shù)”與無人機干擾源的強度和距離之比成反比,比例系數(shù)為常數(shù).現(xiàn)已知相距36km的A. B兩處配置兩架無人機干擾源,其對敵干擾的強度分別為1和,它們連線段上任意一點C處的干擾指數(shù)y等于兩機對該處的干擾指數(shù)之和,設(shè).
(1)試將y表示為x的函數(shù),指出其定義域;
(2)當(dāng)時,試確定“干擾指數(shù)”最小時C所處位置.
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