Question

（1）已知a＞1，b＜1，求證：a+b＞1+ab；
（2）已知x₁，x₂，…，x_n∈R⁺且x₁x₂…x_n=1，求證：（

2

+x₁）（

2

+x₂）…（

2

+x_n）≥（

2

+1）ⁿ．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）證明a+b＞1+ab，只需證明（a-1）（b-1）＜0；
（2）利用數學歸納法證明，先證明n=1時，不等式成立，再假設n=k時，不等式成立，進而證明出n=k+1時，不等式成立即可．

解答： 證明：（1）因為a＞1，b＜1，所以（a-1）（b-1）＜0，即a+b＞1+ab； …（2分）
（2）（�。┊攏=1時，

2

+x1=

2

+1，不等式成立．…（4分）
（ⅱ）假設n=k時不等式成立，即(

2

+x1)(

2

+x2)…(

2

+xk)≥(

2

+1)k成立．…（5分）
則n=k+1時，若x_k+1=1，則命題成立；若x_k+1＞1，則x₁，x₂，…，x_k中必存在一個數小于1，不妨設這個數為x_k，從而（x_k-1）（x_k+1-1）＜0，即x_k+x_k+1＞1+x_kx_k+1．
x_k+1＜1同理可得，
所以(

2

+x1)(

2

+x2)…(

2

+xk)(

2

+xk+1)=(

2

+x1)(

2

+x2)…(2+

2

(xk+xk+1)+xkxk+1)≥(

2

+x1)(

2

+x2)…(2+

2

(1+xkxk+1)+xkxk+1)=(

2

+x1)(

2

+x2)…(

2

+xkxk+1)(

2

+1)≥(

2

+1)n(

2

+1)=(

2

+1)k+1．
故n=k+1時，不等式也成立．…（9分）
由（�。�（ⅱ）及數學歸納法原理知原不等式成立．…（10分）

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．