Question

過雙曲線的一個焦點，存在直線l交雙曲線于A，B兩點，O為中心，OA⊥OB，則雙曲線離心率的范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），焦點為F（c，0），設(shè)直線AB：y=k（x-c），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，運用韋達定理和判別式大于0，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得k，代入判別式解不等式，即可得到離心率的范圍．

解答： 解：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
焦點為F（c，0），
設(shè)直線AB：y=k（x-c），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，可得
（b²-a²k²）x²+2ca²k²x-a²k²c²-a²b²=0，
則△=4c²a⁴k⁴+4（b²-a²k²）（a²k²c²+a²b²）＞0，
x₁+x₂=

-2ca2k2

b2-a2k2

，x₁x₂=

-a2k2c2-a2b2

b2-a2k2

，
則y₁y₂=k²（x₁x₂+c²-c（x₁+x₂））=k²•

a2b2-b2c2

a2k2-b2

，
由于OA⊥OB，則有x₁x₂+y₁y₂=0，
即有a²b²+a²k²c²+k²（a²b²-b²c²）=0，
即有k²=

a2b2

b2c2-a4

，
代入判別式可得，

a2b2

b2c2-a4

•（a²b²c²-a⁴b²）+a²b⁴＞0，
化簡可得，a²c²-a⁴+b²c²-a⁴＞0，
即有c⁴＞2a⁴，即有e=

c

a

＞

4	2

．
故答案為：（

4	2

，+∞）．

點評：本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理和判別式大于0，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．