Question

（2013•徐州三模）如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=6，AB=2，M，N分別是棱BB₁，CC₁上的點(diǎn)，且BM=4，CN=2．
（1）求異面直線AM與A₁C₁所成角的余弦值；
（2）求二面角M-AN-A₁的正弦值．

Answer 1

分析：（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得到；
（2）求出二面角的兩個(gè)平面的法向量的夾角即可．

解答：解：（1）以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，分別以O(shè)A，OB所在直線為x，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖）．
則O（0，0，0），A（1，0，0），C（-1，0，0），B(0，0，

3

)，
N（-1，2，0），M(0，4，

3

)，A₁（1，6，0），C₁（-1，6，0）．
∴

AM

=(-1，4，

3

)，

A1C1

=(-2，0，0)．
∴cos＜

AM

，

A1C1

＞=

AM • A1C1

| AM || A1C1 |

=

2

2 20

=

5

10

，
所以異面直線AM與A₁C₁所成角的余弦值為

5

10

．
（2）平面ANA₁的一個(gè)法向量為

m

=（0，0，1）．
設(shè)平面AMN的法向量為

n

=（x，y，z），因?yàn)?span id="a4skgqw" class="MathJye">

AM

=(-1，4，

3

)，

AN

=(-2，2，0)，
由

n • AM =0 n • AN =0

得

-x+4y+ 3 z=0 -2x+2y=0

令x=1，則y=1，z=-

3

．
∴

n

=(1，1，-

3

)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

- 3

5

=-

15

5

，
所以二面角M-AN-A₁的正弦值=

1-(- 15 5 )2

=

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用異面直線的方向向量的夾角求出異面直線的夾角、二面角的兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的平面角的方法是解題的關(guān)鍵．