Question

【題目】已知：已知函數(shù)f（x）=﹣ +2ax，
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線的斜率為﹣6，求實(shí)數(shù)a；
（Ⅱ）若a=1，求f（x）的極值；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在[1，4]上的最小值為﹣ ，求f（x）在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=﹣x2+x+2a，

曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線的斜率k=f′（2）=2a﹣2，

2a﹣2=﹣6，a=﹣2

（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)， ，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	單調(diào)減		單調(diào)增		單調(diào)減

所以，f（x）的極大值為 ，f（x）的極小值為 ．

（Ⅲ）令f′（x）=0，得 ， ，

f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞減，在（x1，x2）上單調(diào)遞增，

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值為f（x2），f（4）＜f（1），

所以f（x）在[1，4]上的最小值為 ，解得：a=1，x2=2．

故f（x）在[1，4]上的最大值為

【解析】1、求出曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率-6，即可求出實(shí)數(shù)a的值。
2、通過a=1利用導(dǎo)函數(shù)為0，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可求得f（x）的極值。
3、根據(jù)題意可得當(dāng)0＜a＜2時(shí)利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性通過f（x）在[1，4]上的最小值為-即可求a進(jìn)而可得f（x）在[1，4]上的最大值。