解:(Ⅰ)由
a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即
┉┉┉┉┉┉┉┉1分
記
,則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于
.
求得
┉┉┉┉┉┉┉┉2分
當(dāng)
時;
;當(dāng)
時,
┉┉┉┉┉┉┉┉3分
故
在x=e處取得極小值,也是最小值,
即
,故
. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分
(Ⅱ)函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a,在[1,3]上恰有兩個相異實根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分
令g(x)=x-2lnx,則
┉┉┉┉┉┉┉┉6分
當(dāng)
時,
,當(dāng)
時,
g(x)在[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù),在
上是單調(diào)遞增函數(shù)。
故
┉┉┉┉┉┉┉┉8分
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)
<a≤g(3),
故a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分
(Ⅲ)存在m=
,使得函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定
義域上具有相同的單調(diào)性
,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)。┉┉┉┉┉┉10分
若
,則
,函數(shù)f(x)在(0,+
∞)上單調(diào)遞增,不合題意;┉┉┉11分
若
,由
可得2x
2-m>0,解得x>
或x<-
(舍去)
故
時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(
,+∞)
單調(diào)遞減區(qū)間為(0,
) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
而h(x)在(0,+∞)上的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,
),單調(diào)遞增區(qū)間是(
,+∞)
故只需
=
,解之得m=
┉┉┉┉┉┉┉┉13分
即當(dāng)m=
時,函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在其公共定義域上具有相同的單調(diào)性。┉14分.