Question

【題目】如圖，正方體中，分別為的中點(diǎn).

（1）求證:平面⊥平面；

（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否都有平面，證明你的結(jié)論；

（3）若是的中點(diǎn)，求與所成的角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）連接AC，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，又由正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，易得MN∥AC，則MN⊥BD．BB1⊥MN，由線面垂直的判定定理，可得MN⊥平面BB1D1D，進(jìn)而由面面垂直的判定定理，可得平面B1MN⊥平面BB1D1D；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在DD1上移動(dòng)時(shí)，都有MN∥平面A1C1P．由線面平行的判定定理證明即可；
（3）設(shè)C1 C的中點(diǎn)為G，連接PG,B1G，即可說明∠GB1N即為A1P與B1N所成的角，在△GB1N中利用余弦定理求解即可.

試題解析：

（1）正方體中，平面，

平面，所以，

連接，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，

所以,

又四邊形是正方形，所以，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，

（2）當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，都有平面，證明如下：

在正方體中，A1A∥C1C，且A1A=C1C，所以A1ACC1為平行四邊形，

在正方體中，A1A∥C1C，且A1A=C1C，所以A1ACC1為平行四邊形，

所以A1 C1∥A C，

由（1）知，MN∥A C，所以MN∥A1 C1 又

所以]

（3）設(shè)C1 C的中點(diǎn)為G，連接PG,B1G

又因?yàn)镻是D1D的中點(diǎn)，所以PG∥C1D1且PG=C1D1，又A1B1∥C1D1且A1B1=C1D1

所以四邊形A1B1GP為平行四邊形，故A1P∥B1G且A1P=B1G

所以∠GB1N即為A1P與B1N所成的角

設(shè)正方體的棱長為2，所以在△GB1N中，B1G= B1N= ，GN=

所以cos∠GB1N=.