Question

設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx²+x的兩個極值點,

(1)試確定常數(shù)a和b的值；

(2)判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值,并說明理由.

Answer 1

思路分析：（1）由x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx²+x的兩個極值點，知道x=1與x=2是f′(x)=0的兩根，列出方程即可求出a和b的值;

（2）分別判斷函數(shù)在x=1,x=2兩側(cè)的單調(diào)性確定極值.

解：(1)∵f(x)=alnx+bx²+x,

∴f′(x)=+2bx+1.

由極值點的必要條件可知：f′(1)=f′(2)=0,

∴a+2b+1=0且+4b+1=0,

解方程組得a=,b=.

∴f(x)=lnx-x²+x.

(2)f′(x)=x^-1-x+1.當(dāng)x∈(0,1)時f′(x)＜0,當(dāng)x∈(1,2)時,f′(x)＞0,當(dāng)x∈(2,+∞)時,f′(x)＜0,故在x=1處函數(shù)f(x)取得極小值,在x=2處函數(shù)取得極大值ln2.