【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,為棱上的點(diǎn),且.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)設(shè)為棱上的點(diǎn)(不與,重合),且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】
(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,確定各點(diǎn)坐標(biāo),得到,,根據(jù)線面垂直的判定定理,即可證明.
(2)由(1)可知,平面的法向量,確定平面的法向量,根據(jù),求解即可.
(3)設(shè),確定,,根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為,求解,即可.
(1)因?yàn)?/span>平面,平面,平面
所以,
因?yàn)?/span>
則以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由已知可得,,,,,.
所以,,.
因?yàn)?/span>,.
所以,
又,平面,平面.
所以平面.
(2)設(shè)平面的法向量,由(1)可知,
設(shè)平面的法向量
因?yàn)?/span>,.
所以,即
不妨設(shè),得.
所以二面角的余弦值為.
(3)設(shè),即.
所以,即.
因?yàn)橹本與平面所成角的正弦值為
所以
即解得
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了預(yù)防流感,某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量與時(shí)間成正比,藥物釋放完畢后,與的函數(shù)關(guān)系式為(為常數(shù)).如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含藥量與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為________;
(2)據(jù)測定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)教室,那么從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過多少時(shí)間學(xué)生才能回到教室?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l:y=x+m,m∈R.
(I)若以點(diǎn)M(2,0)為圓心的圓與直線l相切與點(diǎn)P,且點(diǎn)P在y軸上,求該圓的方程;
(II)若直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為,問直線與拋物線C:x2=4y是否相切?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線.
(1)過的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;
(2)設(shè)斜率為1的直線l交于P,Q兩點(diǎn),若l與圓相切,求證:;
(3)設(shè)橢圓,若M,N分別是,上的動(dòng)點(diǎn),且,求證:O到直線MN的距離是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn),且與圓相切.
(1)求的值;
(2)動(dòng)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,動(dòng)點(diǎn)在上,若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),設(shè).求證點(diǎn)在定直線上,并求該定直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著社會(huì)的發(fā)展與進(jìn)步,傳播和存儲(chǔ)狀態(tài)已全面進(jìn)入數(shù)字時(shí)代,以數(shù)字格式存儲(chǔ),以互聯(lián)網(wǎng)為平臺(tái)進(jìn)行傳輸?shù)囊魳贰獢?shù)字音樂已然融入了我們的日常生活.雖然我國音樂相關(guān)市場仍處在起步階段,但政策利好使音樂產(chǎn)業(yè)逐漸得到資本市場更多的關(guān)注.對(duì)比如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖,下列說法正確的是( )
2011-2018年中國音樂產(chǎn)業(yè)投融資事件數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖
2013-2021年中國錄制音樂營收變化及趨勢預(yù)測統(tǒng)計(jì)圖
A.2011~2018年我國音樂產(chǎn)業(yè)投融資事件數(shù)量逐年增長
B.2013~2018年我國錄制音樂營收與音樂產(chǎn)業(yè)投融資事件數(shù)量呈正相關(guān)關(guān)系
C.2016年我國音樂產(chǎn)業(yè)投融資事件的平均營收約為億美元
D.2013~2019年我國錄制音樂營收年增長率最大的是2018年
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①對(duì)任意的恒有成立;②當(dāng)時(shí),.記函數(shù),若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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