Question

6．如圖，點A、B分別是角α、β的終邊與單位圓的交點，且0＜β＜$\frac{π}{2}$＜α＜π．
（1）試用向量知識證明：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）若α=$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{1}{3}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可證明，
（2）根據(jù)二倍角公式和誘導公式即可求出．

解答 解：（1）由題意知：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，且$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為α-β，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1×1×cos（α-β）=cos（α-β），
又$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα）、$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ），
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=cosαcosβ+sinαsinβ，
故cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（2）cos（2α-2β）=2cos²（α-β）-1=$\frac{7}{9}$，
又α=$\frac{3π}{4}$，
所以cos（2×$\frac{3π}{4}$-2β）=cos（$\frac{3π}{2}$-2β）=-$\frac{7}{9}$，
即sin2β=$\frac{7}{9}$

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義、兩個向量的數(shù)量積公式、二倍角公式，屬于中檔題