Question

已知橢圓，離心率為 ，兩焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）2.

【解析】

試題分析：（1）確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個(gè)獨(dú)立條件，由離心率為得的關(guān)系，由橢圓定義得△的周長(zhǎng)為，從而可求得，進(jìn)而可確定橢圓方程；（2）解析幾何中的最值問題，通常是選定變量，將目標(biāo)函數(shù)用一個(gè)變量表示，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．本題中當(dāng)斜率不存在時(shí)，則切線為，此時(shí)直接計(jì)算弦長(zhǎng)；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程利用直線和圓相切的條件，得變量的關(guān)系，利用斜長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理，將用變量表示，進(jìn)而求函數(shù)的最大值即可．

試題解析：（1）由題得：，，所以，。 3分

又，所以即橢圓的方程為. 4分

（2）由題意知，.

當(dāng)時(shí)，切線l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為

此時(shí) ; 當(dāng)m=－1時(shí)，同理可得 5分

當(dāng)時(shí)，設(shè)切線的方程為

由

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則

又由l與圓 得

所以

9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021206063441168727/SYS201502120606434119127832_DA/SYS201502120606434119127832_DA.020.png"> 所以

且當(dāng)時(shí)，|AB|=2，

由于當(dāng)時(shí)，所以|AB|的最大值為2. 12分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、函數(shù)的最值.