已知拋物線y=-x2+ax+
12
與直線y=2x
(1)求證:拋物線與直線相交;
(2)求當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方時(shí),a的取值范圍;
(3)當(dāng)a在(2)的取值范圍內(nèi)時(shí),求拋物線截直線所得弦長的最小值.
分析:(1)把直線方程與拋物線方程聯(lián)立,轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的方程,只要對(duì)應(yīng)方程的判別式恒大于0即可說明結(jié)論;
(2)先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),在根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方得到關(guān)于a的不等式,解之即可求出a的取值范圍;
(3)把直線方程與拋物線方程聯(lián)立,轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的方程求出兩根之和與兩根之積,再結(jié)合弦長公式以及第二問中a的取值范圍即可求出拋物線截直線所得弦長的最小值.
解答:解:(1)由
y=2x
y=-x2+ax+
1
2
?2x2+(4-2a)x-1=0,△=(4-2a)2+8>0,

∴直線與拋物線總相交.
(2)∵y=-x2+ax+
1
2
=-(x-
a
2
)2+
a2+2
4
,其頂點(diǎn)為(
a
2
,
a2+2
4
)

且頂點(diǎn)在直線y=2x的下方,
a2+2
4
<2•
a
2
,
a2-4a+2<0?2-
2
<a<2+
2

(3)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=
2a-4
2
=a-2
x1x2=-
1
2

|AB|=
1+22
(a-2)2+2
=
5[(a-2)2+2]

2-
2
<a<2+
2
,
∴當(dāng)a=2時(shí),|AB|min=
10
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題.解決第一問的關(guān)鍵在于把直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程組有根的問題,再轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程有根的問題.
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A、3
B、4
C、3
2
D、4
2

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A、(-∞,-3]B、[1,+∞)C、[-3,1]D、(-∞,-3]∪[1,+∞)

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