Question

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x）和常數(shù)C，若對任意正實數(shù)ξ，存在x∈D，使得0＜|f（x）-c|＜ξ恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）為“斂C函數(shù)”．現(xiàn)給出如下函數(shù)：
①f（x）=x（x∈Z）； ②f（x）=（

1

2

）^x+1（x∈Z）；③f（x）=log₂x； ④f（x）=

x-1

x

．
其中為“斂1函數(shù)”的有（　�。�

• A、①②
• B、③④
• C、②③④
• D、①②③

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由“斂C函數(shù)”的定義可知，當自變量x趨近于某個值或無窮大時，函數(shù)值y無限趨近于一個常數(shù)C，由此性質(zhì)對四個函數(shù)逐一判斷．

解答： 解：對于函數(shù)①，取ξ=

1

2

，因為x∈Z，找不到x，使得0＜|x-1|＜

1

2

成立，所以函數(shù)①不是“斂1函數(shù)”；
對于函數(shù)②，當x→+∞時，(

1

2

)x→0，所以（

1

2

）^x+1→1，所以對任意的正數(shù)ξ，總能找到一個足夠大的正整數(shù)x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故函數(shù)②是“斂1函數(shù)”；
對于函數(shù)③，當x→2時，log₂x→log₂2=1，所以對于無論多大或多小的正數(shù)ξ，總會找到一個x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故函數(shù)③是“斂1函數(shù)”；
對于函數(shù)④，函數(shù)式可化為y=1-

1

x

，所以當x→+∞時，

1

x

→0，即1-

1

x

→1，所以對于無論多小的正數(shù)ξ，總會找到一個足夠大的正數(shù)x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故故函數(shù)④是“斂1函數(shù)”．
故答案選C

點評：解決本題主要是對“斂C函數(shù)”的定義準確理解．對于一些圖象容易畫出的函數(shù)，也可以利用函數(shù)圖象直觀的判斷，比如函數(shù)圖象連續(xù)且與y=1有交點，或者是y=1是函數(shù)圖象的漸近線等．