Question

【題目】正整數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足：，．試求通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】

【解析】

據(jù)條件知，數(shù)列嚴(yán)格遞增．于是，

先在條件式中取，得到，

即． ①

據(jù)式①左端得．

則． ②

又由式①右端得，且，

故． ③

據(jù)式②、③得整數(shù)．

再對(duì)條件式中取，得到，

即． ④

由式④左端得．

則．

由式④右端得，即．

因，所以，．故．

繼而在已知式中取，得，

即． ⑤

又為正整數(shù)，故式⑤右端恒成立．

而由式⑤左端有，故，得．

由，，，，猜想． ⑥

首先，若將式⑥代入已知式得，

即，或．

此式顯然成立．

下證：是滿(mǎn)足條件的唯一數(shù)列．

對(duì)歸納．當(dāng)時(shí)已驗(yàn)證．若式⑥對(duì)于成立，則對(duì)于，據(jù)已知式有

． ⑦

由式⑦右端得．

則． ⑧

（這里用到，當(dāng)時(shí)， ．）

據(jù)式⑦左端得，

即． ⑨

其判別式

．

設(shè)與式⑨對(duì)應(yīng)的關(guān)于的一元二次方程的兩根為、．

則

． ⑩

（這里用到，當(dāng)時(shí)， ．）

據(jù)式⑧、⑩得．

故由歸納法知，對(duì)任意的，式⑥成立，即．