Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，曲線C1的方程為ρ(ρ－4sin θ)＝12，定點(diǎn)A(6，0)，點(diǎn)P是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為AP的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)直線l與直線C2交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|≥2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(x－3)2＋(y－1)2＝4，（2）

【解析】

（1）先根據(jù)將曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得用Q坐標(biāo)表示P，代入點(diǎn)P滿足得曲線C1直角坐標(biāo)方程，即得點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)垂徑定理得圓心(3，1)到直線的距離不大于1，再消參數(shù)得直線l的直角坐標(biāo)方程，最后利用點(diǎn)到直線距離公式化簡不等式，解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(1)根據(jù)題意得，

曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝12，

設(shè)點(diǎn)P(x′，y′)，Q(x，y)，

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

代入x2＋y2－4y＝12，

得點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程為(x－3)2＋(y－1)2＝4，

(2)直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝ax，根據(jù)題意，得圓心(3，1)到直線的距離d≤＝1，即≤1，

解得0≤a≤.

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.