【題目】在平面直角坐標系中,點滿足方程.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)作曲線關于軸對稱的曲線,記為,在曲線上任取一點,過點作曲線的切線,若切線與曲線交于,兩點,過點,分別作曲線的切線,,證明:,的交點必在曲線上.
【答案】(1) ;(2)證明見解析
【解析】
(1)平方化簡,即可求解;
(2)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線l的方程,與曲線方程聯(lián)立,由韋達定理,確定兩交點A,B坐標關系,再利用導數(shù)的幾何意義,求出切線,的方程,并聯(lián)立求出交點坐標,再證明滿足軌跡的方程即可.
(1)由,
兩邊平方并化簡,得,即,
所以點M的軌跡C的方程為.
(2)依題可設點,,
曲線C切于點P的切線l的斜率為,
切線l的方程為,
整理得
依題可知曲線,
聯(lián)立方程組,,
設,,所以,.(*)
設曲線上點處的切線斜率為,
切線方程為,整理得,
同理可得曲線上點處的切線方程為,
聯(lián)立方程組,,
又由(*)式得,則,的交點坐標為,
滿足曲線的方程.
即,的交點必在曲線上.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知邊長為2的菱形ABCD,其中∠BAD=120°,AE∥CF,CF⊥平面ABCD,,.
(1)求證:平面BDE⊥平面BDF;
(2)求二面角D﹣EF﹣B的大小.
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【題目】已知正實數(shù)a,b,c滿足a3+b3+c3=1.
(Ⅰ)證明:a+b+c≥(a2+b2+c2)2;
(Ⅱ)證明:a2b+b2c+c2a≤1.
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【題目】已知橢圓的中心為坐標原點O,橢圓短半軸長為1,動點 在直線,(為長半軸,為半焦距)上.
(1)求橢圓的標準方程
(2)求以OM為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程;
(3)設F是橢圓的右焦點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N.求證:線段ON的長為定值,并求出這個定值.
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【題目】已知拋物線 ,其焦點到準線的距離為2,直線與拋物線交于,兩點,過,分別作拋物線的切線,,與交于點.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求面積的最小值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)已知函數(shù)的兩個極值點,若,①證明:;②證明: .
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