Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-2）²e^x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）是否存在[a，b]（a＜b），使得f（x）在該區(qū)間上的值域?yàn)閇e⁴a，e⁴b]？若存在，求出a，b的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f'（x）=x（x-2）e^x，當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得：x＞2，x＜0，當(dāng)f（x）＜0時(shí)，解得：0＜x＜2，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值．
（Ⅱ）分別討論a=0，a＞0的情況，列出方程組，找到單調(diào)區(qū)間，從而確定出a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f'（x）=x（x-2）e^x，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得：x＞2，x＜0，
當(dāng)f（x）＜0時(shí)，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞增，（0，2）上單調(diào)遞減．
∴y_極大=f（0）=4，y_極小=f（2）=0；
（Ⅱ）∵f（x）≥0，∴a≥0；
若a=0則b≥2，故有（b-2）²e^b=e⁴b
構(gòu)造g(b)=

(b-2)2

b

eb(b＞2)，
∴g′(b)=[

b2-4

b2

+

(b-2)2

b

]eb＞0
b=4為唯一解．
若a＞0，則2∉[a，b]即b＞a＞2或0＜a＜b＜2
①b＞a＞2時(shí)，

f(a)=(a-2)2ea=e4a f(b)=(b-2)2eb=e4b

前面已證至多一解，
不存在滿足條件的a，b；
②0＜a＜b＜2時(shí)，

(a-2)2ea=e4b (b-2)2eb=e4a

，相除得a（a-2）²e^a=b（b-2）²e^b
記 h（x）=x（x-2）²e^x（0＜x＜2），
則 h'（x）=（x³-x²-4x+4）e^x=（x²-4）（x-1）e^x，
∴h（x）在（0，1）遞增，（1，2）遞減，
由h（a）=h（b），
∴0＜a＜1，1＜b＜2
此時(shí)（a-2）²e^a＜4e＜e⁴b矛盾．
綜上所述，滿足條件的a，b為a=0，b=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．