【題目】已知四棱錐的底面ABCD是直角梯形,AD//BC,,E為CD的中點,
(1)證明:平面PBD平面ABCD;
(2)若,PC與平面ABCD所成的角為,試問“在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點N,使得平面PCD?”若存在,求出點N到平面ABCD的距離;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)存在N點到平面ABCD的距離為
【解析】
(1)通過證明,結(jié)合題目所給已知,由此證得平面,進而證得平面平面.
(2)存在.通過(1)的結(jié)論,利用面面垂直的性質(zhì)定理建立空間直角坐標系,假設(shè)存在符合題意的點,使平面,利用向量線性運算設(shè)出點坐標,結(jié)合求得點坐標,由此證得存在一點,使得平面.利用點到平面距離的向量求法,求得點到平面的距離.
(1)證明:由四邊形ABCD是直角梯形, AB=,BC=2AD=2,AB⊥BC,
可得DC=2,∠BCD=,從而△BCD是等邊三角形,BD=2,BD平分∠ADC.
∵E為CD的中點,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,
又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.
(2) 存在.在平面PBD內(nèi)作PO⊥BD于O,連接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,
∴PO⊥平面ABCD,∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角, 則∠PCO=
∴易得OP=OC=,PB=PD,PO⊥BD,所以O為BD的中點,OC⊥BD.
以OB,OC,OP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則B(1,0,0),C(0,,0)D(-1,0,0),P(0,0,)假設(shè)在側(cè)面內(nèi)存在點,使得平面成立,
設(shè),易得 由得,滿足題意,所以N點到平面ABCD的距離為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于正三角形,挖去以三邊中點為頂點的小正三角形,得到一個新的圖形,這樣的過程稱為一次“鏤空操作“,設(shè)是一個邊長為1的正三角形,第一次“鏤空操作”后得到圖1,對剩下的3個小正三角形各進行一次“鏤空操作”后得到圖2,對剩下的小三角形重復進行上述操作,設(shè)是第次挖去的小三角形面積之和(如是第1次挖去的中間小三角形面積,是第2次挖去的三個小三角形面積之和),是前次挖去的所有三角形的面積之和,則( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,離心率等于,該橢圓的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與橢圓的兩個交點記為、,其中點在第一象限,點、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.當、運動時,滿足,試問直線的斜率是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求在區(qū)間上的最值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)當時,有恒成立,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在直三棱柱中,,,已知G與E分別為和的中點,D和F分別為線段AC和AB上的動點(不包括端點),若,則線段DF的長度的平方取值范圍為( ).
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)問:是否存在實數(shù),使得有兩個相異零點?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】二十四節(jié)氣是中國古代的一種指導農(nóng)事的補充歷法,是我國勞動人民長期經(jīng)驗的積累成果和智慧的結(jié)晶,被譽為“中國的第五大發(fā)明”.由于二十四節(jié)氣對古時候農(nóng)事的進行起著非常重要的指導作用,所以勞動人民編寫了很多記憶節(jié)氣的歌謠:春雨驚春清谷天,夏滿芒夏暑相連,秋處露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒.《易經(jīng)》里對二十四節(jié)氣的晷影長的記錄中,冬至和夏至的晷影長是實測得到的,其他節(jié)氣的晷影是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算出來的,在下表中,冬至的晷影最長為130.0寸,夏至的晷影最短為14.8寸,那么《易經(jīng)》中所記錄的清明的晷影長應為( )
A.77.2寸B.72.4寸C.67.3寸D.62.8寸
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【題目】已知函數(shù).(其中為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若,且在上是增函數(shù),求的最小值;
(2)設(shè),若對任意、恒有,求的取值范圍.
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【題目】如下圖所示,某窯洞窗口形狀上部是圓弧,下部是一個矩形,圓弧所在圓的圓心為O,經(jīng)測量米,米,,現(xiàn)根據(jù)需要把此窯洞窗口形狀改造為矩形,其中E,F在邊上,G,H在圓弧上.設(shè),矩形的面積為S.
(1)求矩形的面積S關(guān)于變量的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求為何值時,矩形的面積S最大?
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