Question

（本小題12分）橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上，且.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線過圓的圓心，交橢圓于兩點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程。

Answer 1

（1）（2）

試題分析：
(Ⅰ)依題可設(shè)橢圓方程為,
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 ，則    ……2分
在△中，， 故,
從而，
所以橢圓的方程為 .                                   ……4分
(Ⅱ)（解法一）設(shè)的坐標(biāo)分別為。
已知圓的方程為,所以圓心的坐標(biāo)為.
從而可設(shè)直線的方程為,
代入橢圓的方程得.……8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235241103429.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱. 所以 且  
解得，所以直線的方程為 即
(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)                                ……12分
（解法二）已知圓的方程為，故圓心為.
設(shè)的坐標(biāo)分別為。
由題意 ①
  ②
由①－②得：       ③
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235241103429.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，
代入③得， 即直線的斜率，              ……10分
所以直線的方程為，即
(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)                           ……12分
點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線等）的位置關(guān)系是每年高考的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，學(xué)生在復(fù)習(xí)備考時(shí)，要了解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的解決方法，尤其是通性通法和常用技巧，如設(shè)而不求、點(diǎn)差法等，另外還要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣.