Question

已知點(diǎn)A(4，－3)，B(2，－1)和直線l：4x＋3y－2＝0，求一點(diǎn)P使|PA|＝|PB|，且點(diǎn)P到l的距離等于2.

 

Answer 1

點(diǎn)P(1，－4)或P(，－)為所求的點(diǎn)

【解析】為使|PA|＝|PB|(如圖)，點(diǎn)P必在線段AB的垂直平分線上，又點(diǎn)P到直線l的距離為2，所以點(diǎn)P又在距離l為2且平行于l的直線上，求這兩條直線的交點(diǎn)即得所求點(diǎn)P.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(a，b)．

∵ A(4，－3)，B(2，－1)．∴ AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－2)．又AB的斜率kAB＝＝－1.∴ AB的垂直平分線方程為y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.

而P(a，b)在直線x－y－5＝0上．∴ a－b－5＝0①.

又已知點(diǎn)P到l的距離為2，∴ 點(diǎn)P必在與l平行且距離為2的直線上，設(shè)直線方程為4x＋3y＋m＝0，由兩條平行直線之間的距離公式，得＝2，

∴ m＝8或－12.∴ 點(diǎn)P在直線4x＋3y＋8＝0或4x＋3y－12＝0上．∴ 4a＋3b＋8＝0或4a＋3b－12＝0 ②.由①②得a＝1，b＝－4或a＝，b＝－.

∴ 點(diǎn)P(1，－4)或P(，－)為所求的點(diǎn)