Question

【題目】如圖，在三棱柱 中， 底面 ，且 為等邊三角形， ， 為 的中點(diǎn).

（1）求證：直線 平面 ；
（2）求證：平面 平面 ；
（3）求三棱錐 的體積.

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示

連接 交 于 ，連接

因?yàn)樗倪呅? 是平行四邊形，

所以 為 的中點(diǎn)，

又因?yàn)? 為 的中點(diǎn)，

所以 為 的中位線，

所以

又 平面 平面 ，

所以 平面 .

（2）證明：因?yàn)? 是等邊三角形， 為 的中點(diǎn)，

所以

又因?yàn)? 底面

所以

根所線面垂直的判定定理得 平面

又因?yàn)? 平面

所以平面 平面 ；

（3）解：由（2）知， 中，

【解析】(1)由題意構(gòu)造平面BC1D內(nèi)的直線，再證明直線AB1與這條直線平行。(2)根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證。(3)根據(jù)題意利用等體積法即可求出體積。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．