Question

已知函數(shù)f（x）=|x²+4x+3|，關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程f²（x）+bf（x）+c=0恰好有七個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作出f（x）的圖象，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可．

解答： 解：作出f（x）的圖象如圖：設(shè)t=f（x），
則方程等價(jià)為t²+bt+c=0，
由圖象可知，
當(dāng)t=0或t＞1時(shí)，方程f（x）=t有兩個(gè)根，
當(dāng)t=1時(shí)，方程f（x）=t有三個(gè)根，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，方程f（x）=t有四個(gè)根，
要使方程f²（x）+bf（x）+c=0恰好有七個(gè)實(shí)數(shù)根，
則滿足t=1或0＜t＜1，
當(dāng)t=1時(shí)，方程等價(jià)為1+b+c=0，
即b=-1-c，
則方程為t²+bt+c=t²+（-1-c）t+c=0，
即（t-1）（t-c）=0，
則t=c，
即0＜c＜1，
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)和方程的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．