已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R.
(I)當(dāng)a=e2時(shí),求曲線y=f(x)在x=-2處的切線方程;
(II)若函數(shù)f(x)在[-2,2]上為單調(diào)增函數(shù),求a的最大值.

解:由題意得f(x)的定義域?yàn)镽,且f′(x)=ex-ax+e2,
(I)由于a=e2,則f(x)=ex-x2+e2x,f′(x)=ex-e2x+e2
故f(-2)=e-2-4e2,f′(-2)=e-2+3e2
所以f(x)在x=-2處的切線方程為:y=f′(-2)(x+2)+f(-2),即y=(e-2+3e2)x+3e-2+2e2
(II)因?yàn)閒(x)在[-2,2]上為單調(diào)增函數(shù);
所以f′(x)=ex-ax+e2≥0對(duì)任意的x∈[-2,2]恒成立,
①當(dāng)x=0時(shí),不等式成立;
②當(dāng)x≠0時(shí),即可轉(zhuǎn)化為不等式a≤對(duì)x∈(0,2]恒成立且不等式
a≥對(duì)x∈[-2,0)恒成立,
令h(x)=,-2≤x≤2,x≠0,則h′(x)=
令p(x)=xex-ex-e2,則p′(x)=ex+xex-ex=xex,
當(dāng)x∈[-2,0),p′(x)<0,;當(dāng)x∈(0,2]時(shí),p′(x)>0,
故p(x)在[-2,0)上單調(diào)遞減,在(0,2]上單調(diào)遞增;
又p(2)=0,p(-2)<0,
所以當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),h′(x)<0;當(dāng)x∈(0,2]時(shí),h′(x)≤0,
所以h(x)在∈[-2,0)上單調(diào)遞減,在∈(0,2]上單調(diào)遞減.
所以h(x)在∈[-2,0)上的最大值M=h(-2)=-,在(0,2]上的最小值N=h(2)=e2,
所以滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為:[-,e2],所以實(shí)數(shù)a的最大值為e2
分析:(I)當(dāng)a=e2時(shí),對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),求出其在x=-2處的斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線的方程;
(II)函數(shù)f(x)在[-2,2]上為單調(diào)增函數(shù),可得f′(x)=ex-ax+e2≥0對(duì)任意的x∈[-2,2]恒成立,分兩種情況:x=0或x≠0,從而求解;
點(diǎn)評(píng):此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,利用了分類討論的思想,此題是一道綜合性題,有一定的難度;
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•陜西三模)已知a>0,函數(shù)f(x)=
ax
+lnx-1
(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=x2-2bx+4,當(dāng)a=1時(shí),若對(duì)任意x1∈(0,e),存在x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•張掖模擬)已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+(ae-4)x+2lnx,g(x)=ax(2-lnx)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),常數(shù)a≠0).
(1)若對(duì)任意x>0,g(x)≤1恒成立,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)a取最大值時(shí),試討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[
1
e
,e]上的單調(diào)性;
(3)求證:對(duì)任意的n∈N*,不等式ln
2n
n!
1
12
n3-
5
8
n2+
31
24
n
成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省七校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),其中a>0.

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若直線是曲線的切線,求實(shí)數(shù)a的值;

(Ⅲ)設(shè),求在區(qū)間上的最大值(其中e為自然對(duì)的底數(shù))。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知a>0,函數(shù)數(shù)學(xué)公式(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=x2-2bx+4,當(dāng)a=1時(shí),若對(duì)任意x1∈(0,e),存在x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年陜西省西安市五校高考數(shù)學(xué)三模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知a>0,函數(shù)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=x2-2bx+4,當(dāng)a=1時(shí),若對(duì)任意x1∈(0,e),存在x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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