Question

【題目】已知函數,().

(1)求函數的單調區(qū)間；

(2)求證:當時,對于任意,總有成立．

Answer 1

【答案】（1）當時,的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為,；當時,的單調遞增區(qū)間為,,單調遞減區(qū)間為；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（I）首先求出函數的導數，對字母a進行分類討論，根據，可知函數單調遞增，時函數單調遞減可得答案．（Ⅱ）要證當a＞0時，對于任意，總有成立，即要證明對于任意，總有．根據（Ⅰ）可知，當時，f（x）在（0，1）上單調遞增，f（x）在（1，e]上單調遞減，從而有，再利用導數可得，當時，g（x）在（0，a）上單調遞增，g（x）在（a，e]上單調遞減，所以，再用作差法即可證明．

試題解析解：（Ⅰ）函數的定義域為，.

當時，當變化時，，的變化情況如下表：

		0		0
	↘		↗		↘

當時，當變化時，，的變化情況如下表：

		0		0
	↗		↘		↗

綜上所述，

當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，；

當時，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為. 5分 （2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，；在上單調遞減，且. 所以時， .因為，所以，

令，得時，由，得；由，得，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.所以.

因，對任意，總有. 10分

②當時，在上恒成立，

所以函數在上單調遞增，.

所以對于任意，仍有.

綜上所述，對于任意，總有. 14分