Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界、若函數(shù)f（x）=1+a•^x+^x在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   [-5，0]
2. B.
   [-4，1]
3. C.
   [-4，0]
4. D.
   [-5，1]

Answer 1

D
分析：遇到求參數(shù)的取值范圍問題，我們往往采用參數(shù)分離法進行求解，恒成立問題轉(zhuǎn)化成研究最值問題，即[h（x）]_max≤a≤[p（x）]_min
解答：由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，即
-3≤f（x）≤3，
∴-4-^x≤a^x≤2-^x，
∴-4•2^x-^x≤a≤2•2^x-^x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2^x-^x]_max≤a≤[2•2^x-^x]_min，
設(shè)2^x=t，則h（t）=-4t-，p（t）=2t-，由x∈[0，+∞），得t≥1，
易知：h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，
所以h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1，
∴實數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．
故選D
點評：本題考查了恒成立問題，函數(shù)最值問題，換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的思想．