如右圖所示,定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對?x∈D,常數(shù)A,都有f(x)≥A成立,則稱函數(shù)f(x)在D上有下界,其中A稱為函數(shù)的下界.(提示:圖中的常數(shù)A可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)或零)
(1)試判斷函數(shù)f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上是否有下界?并說明理由;
(2)已知某質(zhì)點的運動方程為S(t)=at-2
t+1
,要使在t∈[0,+∞)上的每一時刻該質(zhì)點的瞬時速度是以A=
1
2
為下界的函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)函數(shù)f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上有下界32.利用導(dǎo)數(shù)求極小值能夠進(jìn)行判斷.
(2)質(zhì)點在t∈[0,+∞)上的每一時刻該質(zhì)點的瞬時速度:v=S′(t)=a-
1
t+1
,依題意得對?t∈[0,+∞)a≥
1
t+1
+
1
2
對?t∈[0,+∞)恒成立.由此能求出實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上有下界32.
理由如下:
f(x)=x3+
48
x

f(x)=3x2-
48
x2
,
f(x)=3x2-
48
x2
=0,
得x=2,或x=-2(舍)
列表:
 x  (0,2)  2  (2,+∞)
 f′(x) -  0 +
 f(x)  極小值
極小值f(2)=8+
48
2
=32.
∵只有一個極小值,
∴f(x)≥32,
函數(shù)f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上有下界32.
(2)質(zhì)點在t∈[0,+∞)上的每一時刻該質(zhì)點的瞬時速度:
v=S′(t)=a-
1
t+1
,
依題意得對?t∈[0,+∞)有a-
1
t+1
1
2

即:a≥
1
t+1
+
1
2
對?t∈[0,+∞)恒成立.
所以  a≥
3
2
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強,是高考的重點.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在R上的偶函數(shù)的部分圖像如右圖所示,則在上,下列函數(shù)中與的單調(diào)性不同的是

A.

B.

C.

D.

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(本題滿分12)如右圖所示,定義在D上的函數(shù),如果滿足:對常數(shù)A,都有成立,則稱函數(shù)在D上有下界,其中A稱為函數(shù)的下界.(提示:圖中的常數(shù)A可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)或零)

(1)試判斷函數(shù)上是否有下界?并說明理由;

(2)已知某質(zhì)點的運動方程為,要使在上的每一時刻該質(zhì)點的瞬時速度是以為下界的函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

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定義在R上的偶函數(shù)的部分圖像如右圖所示,則在區(qū)間上,下列函數(shù)中與的單調(diào)性不同的是(    )

A.                 B.

C.           D.

 

 

 

 

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008-2009學(xué)年江蘇省揚州中學(xué)高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如右圖所示,定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對?x∈D,常數(shù)A,都有f(x)≥A成立,則稱函數(shù)f(x)在D上有下界,其中A稱為函數(shù)的下界.(提示:圖中的常數(shù)A可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)或零)
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