Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

），n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（-1）^n-1a_na_n-1，求{b_n}的前n向和T_n
（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n≤m-3n恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，得a_n+1=f（

1

an

）=

2

3

+an，n∈N^*，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k，T_2k=a₁a₂-a₂a₃+…+a_2k-1a_2k-a_2ka_2k+1=-

4

9

k(2k+3)，所以Tn=-

2

9

n(n+3)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=T_n-1+b_n=T_n-1+a_na_n+1=

2n2+2n+3

9

．
（3）n為偶數(shù)時(shí)，-

2

9

n(n+3)+3n≤m恒成立，所以

-2n2+21n

9

≤m，由此能求出m的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，
∴a_n+1=f（

1

an

）=

2

3

+an，n∈N^*，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，

2

3

為公差的等差數(shù)列，
∴an=1+(n-1)×

2

3

=

2n+1

3

．
（2）b_n=（-1）^n-1a_na_n-1，{b_n}的前n向和T_n．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k，
T_2k=a₁a₂-a₂a₃+…+a_2k-1a_2k-a_2ka_2k+1
=a₂（a₁-a₃）+…+a_2k（a_2k-1-a_2k+1）
=-

4

3

(a2+a4+…+a2k)
=-

4

9

k(2k+3)，
∴Tn=-

2

9

n(n+3)．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=T_n-1+b_n=T_n-1+a_na_n+1
=

2n2+2n+3

9

．
∴T_n=

- 2 9 n(n+3)，n為偶數(shù) 2n2+2n+3 9 ，n為奇數(shù)

．
（3）∵當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n≤m-3n恒成立，
即n為偶數(shù)時(shí)，-

2

9

n(n+3)+3n≤m恒成立，
∴

-2n2+21n

9

≤m，∴-

2

9

（n²-

21

2

n）=-

2

9

(n-

21

4

)2+

441

72

≤m，
∵n∈N^*，∴當(dāng)n=6時(shí)，

-2n2+21n

9

|max=6，
∴m≥6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意配方法的合理運(yùn)用．