Question

【題目】已知圓和點(diǎn).

（1）過點(diǎn)向圓引切線，求切線的方程；

（2）求以點(diǎn)為圓心，且被直線截得的弦長(zhǎng)為8的圓的方程；

（3）設(shè)為（2）中圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）存在；定點(diǎn)時(shí)，定值為或定點(diǎn)時(shí)，定值為.

【解析】

（1）討論斜率是否存在：當(dāng)斜率不存在時(shí)，易判斷為圓的切線；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由圓心到直線距離等于半徑，即可求得斜率，進(jìn)而確定直線方程.

（2）由點(diǎn)到直線距離公式可先求得點(diǎn)到直線的距離，再根據(jù)所得弦長(zhǎng)和垂徑定理，即可確定半徑，進(jìn)而得圓的方程；

（3）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，，，根據(jù)切線長(zhǎng)定理及兩點(diǎn)間距離公式表示出，代入并結(jié)合圓M的方程，化簡(jiǎn)即可求得，進(jìn)而代入整理的方程可得關(guān)于的一元二次方程，解方程即可確定的值，即可得定點(diǎn)坐標(biāo)及的值.

（1）若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線方程為，為圓的切線；

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

即，

∴圓心到切線的距離為，解得，

∴直線方程為

綜上切線的方程為或.

（2）點(diǎn)到直線的距離為，

∵圓被直線截得的弦長(zhǎng)為8，∴，

∴圓的方程為.

（3）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，，

∵點(diǎn)在圓上，

∴，則

∵為圓的切線，

∴，∴，

，

∴

即

整理得

若使對(duì)任意，恒成立，則，

∴，代入得，

化簡(jiǎn)整理得，解得或，

∴或

∴存在定點(diǎn)，此時(shí)為定值或定點(diǎn)，此時(shí)為定值.