Question

如圖，公園有一塊邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪， 圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
(1)．設(shè)AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式,并求函數(shù)的定義域；
(2)．如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，DE的位置又應(yīng)在哪里？請(qǐng)予證明．

Answer 1

（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=處，如果DE是參觀路線，則DE為AB中線或AC中線時(shí)，DE最長(zhǎng)，證明過(guò)程詳見(jiàn)解析．

解析試題分析：（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根據(jù)面積公式可得，消去AE后即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，又根據(jù)可以得到x的取值范圍；（2）如果DE是水管，則問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，求的最小值，利用基本不等式即可求得當(dāng)時(shí)，y有最小值為，如果DE是參觀路線，則問(wèn)題等價(jià)于問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，求的最小值，根據(jù)函數(shù)在[1,2]上的單調(diào)性，可得當(dāng)x=1或2時(shí)，y有最小值．
（1）在△ADE中，由余弦定理：①
又∵ ②
②代入①得（y＞0）, ∴，
由題意可知，所以函數(shù)的定義域是，
；
（2）如果DE是水管,
當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝時(shí)“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．
如果DE是參觀線路，記，可知函數(shù)在[1，]上遞減，在[，2]上遞增，
故 ∴y _max＝．即DE為AB中線或AC中線時(shí)，DE最長(zhǎng)．    
考點(diǎn)：1、平面向量的數(shù)量積；2、三角形面積計(jì)算．