【題目】已知函數(shù),的導數(shù).

(1)討論函數(shù)的零點個數(shù);

(2)若函數(shù)的定義域內(nèi)不單調(diào)且在上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】試題分析:

(1)原問題等價于函數(shù)圖象的交點的個數(shù),分類討論可得:時,無零點;時,有一個零點;時,有兩個零點.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論,利用導函數(shù)列表分類討論函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的取值范圍是.

試題解析:

(1),

,所以函數(shù)的零點個數(shù)等價于兩函數(shù)圖象的交點的個數(shù),

設兩者相切時切點為,則由

.

由圖可知時,兩函數(shù)圖象無交點,無零點;

<>時,兩函數(shù)圖象有一個交點,有一個零點;

時,兩函數(shù)圖象有兩個交點,有兩個零點.

解法二:,

,所以,所以函數(shù)的零點個數(shù)等價于兩函數(shù)的交點個數(shù).

因為,

所以時,,遞增;時,,遞減且

時,有極大值,

如圖所示,由圖可知,兩函數(shù)圖象無交點,無零點;

時,兩函數(shù)圖象有一個交點,有一個零點;

時,兩函數(shù)圖象有兩個交點,有兩個零點.

解法三:直接由的導函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性及零點,因為函數(shù)取正值或負值時的特殊值不易找,請謹慎處理,如果僅僅交代單調(diào)性而不說明零點存在定理的條件(即)中的的、或者只用限說明的,要酌情扣分。

(2)解法1:由(1)知時,無零點或一個零點,,函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時,.

上單調(diào)遞減時,,即,亦等價于時,

.

①當時,遞增,不合題意;

②當時,,此時遞減,

時,,由,解得,

所以;

③當時,,時,由表可知時,取最大值,最大值為,不合題意.

0

極大值

綜上可知.

解法二:由(1)知時,無零點或一個零點,,函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時,.

上單調(diào)遞減時,,即恒成立;

,令,則恒成立,

因為,所以,單調(diào)遞減,

,由恒成立得,解得.

綜上可得.

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點擊量

節(jié)數(shù)

6

18

12

(Ⅰ)現(xiàn)從36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié),求選出的點擊量超過3000的節(jié)數(shù).

(Ⅱ)為了更好地搭建云課平臺,現(xiàn)將云課進行剪輯,若點擊量在區(qū)間內(nèi),則需要花費40分鐘進行剪輯,若點擊量在區(qū)間內(nèi),則需要花費20分鐘進行剪輯,點擊量超過3000,則不需要剪輯,現(xiàn)從(Ⅰ)中選出的6節(jié)課中任意取出2節(jié)課進行剪輯,求剪輯時間為40分鐘的概率.

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