Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，k∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)性；
（2）判斷方程f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上是否有解？若有解，說(shuō)明解的個(gè)數(shù)及依據(jù)；若無(wú)解，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可解決；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及k的范圍，即可判斷f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）解得個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，其定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，
當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)k＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{k}$
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得x＞$\sqrt{k}$，此時(shí)函數(shù)f（x）在（$\sqrt{k}$，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得0＜x＜$\sqrt{k}$，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{k}$）單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)k≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）在（$\sqrt{k}$，+∞）單調(diào)遞增，在（0，$\sqrt{k}$）單調(diào)遞減．
（2）由（1）可知，①當(dāng)k≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∵方程f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上是有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＜0}\\{f（\sqrt{e}）＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜0}\\{\frac{e}{2}-\frac{k}{2}＞0}\end{array}\right.$此時(shí)k的值不存在，
②∵f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-k}{2}$，
當(dāng)0＜$\sqrt{k}$＜1時(shí)，即0＜k＜1時(shí)，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）單調(diào)遞增，由f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，故f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上無(wú)解
當(dāng)1≤$\sqrt{k}$≤$\sqrt{e}$時(shí)，即1≤k≤e時(shí)，f（x）_min=f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k}{2}$-kln$\sqrt{k}$=kln$\sqrt{\frac{e}{k}}$＞0，故f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上無(wú)解
當(dāng)$\sqrt{k}$＞$\sqrt{e}$時(shí)，即k≥e時(shí)，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）單調(diào)遞減，由f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-k}{2}$＜0，故f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上有唯一解，
綜上所述，當(dāng)k≤e時(shí)，f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上無(wú)解，
當(dāng)k＞e時(shí)，故f（x）=0在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上有唯一解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．