Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，a₁=1且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，若S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則

2Sn+14

an+3

的最小值為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、4

  2

  -2
• D、

  11

  3

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意得（1+2d）²=1+12d，求出公差d的值，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和，從而可得

2Sn+14

an+3

，換元，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：∵a₁=1，a₁、a₃、a₁₃ 成等比數(shù)列，
∴（1+2d）²=1+12d．
得d=2或d=0（舍去），
∴a_n =2n-1，
∴S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²，
∴

2Sn+14

an+3

=

2n2+14

2n+2

．
令t=n+1，則

2Sn+14

an+3

=t+

8

t

-2
t=2時(shí)，t+

8

t

-2=4，t=3時(shí)，t+

8

t

-2=

11

3

，
∴

2Sn+14

an+3

的最小值為

11

3

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．