Question

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知A（-3，0），B（3，0），P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交y軸于M、N，求的值；
（3）在（2）的條件下，若G（s，0），H（k，0），且，（s＜k），分別以O(shè)G、OH為邊作兩正方形，求此兩正方形的面積和的最小值，并求出取得最小值時(shí)的G、H點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由題意設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是，
由題意知，又因a²=b²+c²，
解得a²=9，b²=5，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)P（x₀，y₀），∵A（-3，0），B（3，0），
∴直線，
令x=0，分別代入上面的直線方程得：M（0，），N（0，），
∴，，
∴=•=5．

（3）∵，
又∵，∴，
∴兩正方形的面積和為
當(dāng)且僅當(dāng)s²=k²=5時(shí)，等式成立，
∴兩正方形的面積和的最小值為10，此時(shí)G、H．
分析：（1）由題意設(shè)出橢圓方程，由條件和a²=b²+c²求出a²和b²的值；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)和點(diǎn)A和B坐標(biāo)，求出直線PA和PB的方程，令x=0求出點(diǎn)M和N坐標(biāo)，即求出的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積運(yùn)算求出，根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上求出值；
（3）由（2）求出點(diǎn)M和N坐標(biāo)以及題意求出，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算和求出關(guān)于sk的積，再由基本不等式求出面積的最小值，注意等號(hào)成立的條件，進(jìn)而求出G、H點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質(zhì)、向量數(shù)量積的幾何意義，利用a、b、c、e幾何意義和a²=b²+c²求出a和b的值，根據(jù)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程求出數(shù)量積的值，根據(jù)基本不等式和條件求出最值，注意“一正二定三相等”的利用，此題綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)多，考查了分析問題和解決問題的能力．