Question

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為

3

5

，焦點坐標分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知A（-3，0），B（3，0），P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交y軸于M、N，求

OM

•

ON

的值；
（3）在（2）的條件下，若G（s，0），H（k，0），且

GM

⊥

HN

，（s＜k），分別以O(shè)G、OH為邊作兩正方形，求此兩正方形的面積和的最小值，并求出取得最小值時的G、H點坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)出橢圓方程，由條件和a²=b²+c²求出a²和b²的值；
（2）設(shè)出點P的坐標和點A和B坐標，求出直線PA和PB的方程，令x=0求出點M和N坐標，即求出

OM

、

ON

的坐標，由向量的數(shù)量積運算求出

OM

•

ON

，根據(jù)點P在橢圓上求出值；
（3）由（2）求出點M和N坐標以及題意求出

GM

，

HN

，根據(jù)向量數(shù)量積運算和

GM

⊥

HN

求出關(guān)于sk的積，再由基本不等式求出面積的最小值，注意等號成立的條件，進而求出G、H點坐標．

解答：解：（1）由題意設(shè)橢圓C的標準方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由題意知

a

b

=

3

5

，c=2，又因a²=b²+c²，
解得a²=9，b²=5，
∴橢圓C的標準方程為

x2

9

+

y2

5

=1．

（2）設(shè)P（x₀，y₀），∵A（-3，0），B（3，0），
∴直線PA：y=

y0

x0+3

(x+3)，PB：y=

y0

x0-3

(x-3)
令x=0，分別代入上面的直線方程得：M（0，

3y0

x0+3

），N（0，

-3y0

x0-3

），
∴

OM

=(0，

3y0

x0+3

)，

ON

=(0，

-3y0

x0-3

)，
∴

OM

•

ON

=

3y0

x0+3

•

-3y0

x0-3

=5．

（3）∵

GM

=(-s，

3y0

x0+3

)，

HN

=(-k，

-3y0

x0-3

)
又∵

GM

⊥

HN

，∴

GM

•

HN

=sk+5=0，
∴兩正方形的面積和為s2+k2=s2+

25

s2

≥10
當且僅當s²=k²=5時，等式成立，
∴兩正方形的面積和的最小值為10，此時G(-

5

，0)、H(

5

，0)．

點評：本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質(zhì)、向量數(shù)量積的幾何意義，利用a、b、c、e幾何意義和a²=b²+c²求出a和b的值，根據(jù)橢圓上點的坐標滿足方程求出數(shù)量積的值，根據(jù)基本不等式和條件求出最值，注意“一正二定三相等”的利用，此題綜合性強，涉及的知識多，考查了分析問題和解決問題的能力．