Question

在(

x

2

-

1

3 x

)8的展開式中
（1）求展開式的第四項；（2）求展開式的常數(shù)項；（3）求展開式的各項系數(shù)的和．

Answer 1

分析：（1）先求出展開式的通項Tr+1=

C

r 8

(

x

2

)8-r(-

1

3 x

)r，令r=3，進(jìn)而可求展開式的第四項；
（2）令展開式中x的指數(shù)為0，即8-r-

r

3

=0，可得r=6，從而利用通項公式求出常數(shù)項；
（3）令f(x)=(

x

2

-

1

3 x

)8，令x=1，即可得展開式的各項系數(shù)的和．

解答：解：（1）∵通項Tr+1=

C

r 8

(

x

2

)8-r(-

1

3 x

)r，
令r=3，
∴T4=

C

3 8

(

x

2

)5(-

1

3 x

)3=-

7

4

x4（2分）
（2）Tr+1=

C

r 8

(

x

2

)8-r(-

1

3 x

)r=

C

r 8

(

1

2

)8-r×(-1)r×x8-r-

r

3

令8-r-

r

3

=0，得r=6，
∴常數(shù)項為T7=

C

6 8

(

1

2

)2(-1)6=7（2分）
（3）令f(x)=(

x

2

-

1

3 x

)8，
則展開式的各項系數(shù)的和為f(1)=(-

1

2

)8=

1

256

（2分）

點評：本題以二項式為載體，考查通項公式的運用，考查特殊項與指定項，考查展開式的各項系數(shù)的和，其中正確得出展開式的通項是解題的關(guān)鍵．