給定橢圓: ,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為,且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程;
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點,過動點作直線,使得與橢圓都只有一個交點,試判斷是否垂直,并說明理由.
(Ⅰ) ,;(Ⅱ)垂直.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)利用焦點坐標求出,利用短軸上的一個端點到的距離為,求出,解出,,寫出橢圓方程,通過得到的,求出準圓的半徑,直接寫出準圓方程;(Ⅱ)分情況討論:①當中有一條直線的斜率不存在時,②當的斜率都存在時.
試題解析:(Ⅰ)由題意可知,,則,,
所以橢圓方程為. 2分
易知準圓半徑為,
則準圓方程為. 4分
(Ⅱ)①當中有一條直線的斜率不存在時,
不妨設的斜率不存在,因為與橢圓只有一個公共點,則其方程為,
當的方程為時,此時與準圓交于點,,
此時經(jīng)過點或且與橢圓只有一個公共點的直線是或,
即為或,顯然直線垂直; 6分
同理可證直線的方程為時,直線也垂直. 7分
②當的斜率都存在時,設點,其中.
設經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為,
由消去,得.
由化簡整理得,. 因為,
所以有. 10分
設直線的斜率分別為,因為與橢圓只有一個公共點,
所以滿足方程,
所以,即垂直. 12分
綜合①②知,垂直. 13分
考點:1.橢圓方程;2.分類討論思想解題.
科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年河北省高三第二次模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分)給定橢圓:,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為,其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程.
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點,過動點作直線使得與橢圓都只有一個交點,且分別交其“準圓”于點,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012年山東省高考模擬預測卷(四)文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
給定橢圓: ,稱圓心在坐標原點,半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”. 已知橢圓的兩個焦點分別是,橢圓上一動點滿足.
(Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)過點P作直線,使得直線與橢圓只有一個交點,且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為.求出的值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年山東省濰坊市高三2月月考理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分12分)
給定橢圓:,稱圓心在原點,半徑為的圓是
橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為,其短軸上的一個端點到的距
離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程.
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點,過動點作直線使得與橢
圓都只有一個交點,且分別交其“準圓”于點;
(1)當為“準圓”與軸正半軸的交點時,求的方程.
(2)求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數(shù)學文卷 題型:解答題
(本小題滿分14分)
給定橢圓: ,稱圓心在坐標原點,半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”. 已知橢圓的兩個焦點分別是,橢圓上一動點滿足.
(Ⅰ) 求橢圓及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ) 過點P作直線,使得直線與橢圓只有一個交點,且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為.求出的值.
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