(2013•聊城一模)某校高三年級文科共有800名學(xué)生參加了學(xué)校組織的模塊測試,教務(wù)處為了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況,采用系統(tǒng)抽樣的方法,從這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽出若干名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.
并制成如下頻率分布表:
分組 頻數(shù) 頻率
[70,80) 4 0.04
[80,80) 6 0.06
[90,100) 20 0.20
[100,110) 22 0.22
[110,120) 18 b
[120,130) a 0.15
[130,140) 10 0.10
[140,150) 5 0.05
合計 c 1
(I)李明同學(xué)本次數(shù)學(xué)成績?yōu)?03分,求他被抽取的概率P;
(Ⅱ)為了解數(shù)學(xué)成績在120分以上的學(xué)生的心理狀態(tài),現(xiàn)決定在第六、七、八組中用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生的成績,并從這6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名,與心理老師面談,求第七組至少有一名學(xué)生與心理老師面談的概率’
(Ⅲ)估計該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分.
分析:(I)根據(jù)各組的頻率之和等于1,可得b的值,根據(jù)某一組的頻數(shù)和頻率求得樣本容量c的值,從而求得a的值.再由每個個體被抽到的概率都相等,
可得李明同學(xué)被抽到的概率為
1
8

(Ⅱ)求得從第七組抽取的人數(shù)為2.從這6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名,所有的抽取方法共有
C
2
6
種,而第七組沒有學(xué)生被抽到的方法有
C
2
4
種,
由此求得第七組沒有學(xué)生被抽到的概率,再用1減去此概率,即得所求.
(Ⅲ)用每一組的平均值乘以該組的頻率,相加,即得該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分的估計值.
解答:解:(I)根據(jù)各組的頻率之和等于1,可得b=0.15,根據(jù)
4
c
=0.04,解得樣本容量c=100,故a=15.
再由每個個體被抽到的概率都相等,都等于
100
800
=
1
8
,可得李明同學(xué)被抽到的概率為
1
8

(Ⅱ)第六、七、八組共有30個樣本,用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生的成績,每個個體被抽到的概率為
6
30
=
1
5
,
故從第七組抽取的人數(shù)為 10×
1
5
=2.
從這6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名,所有的抽取方法共有
C
2
6
=15種,而第七組沒有學(xué)生被抽到的方法有
C
2
4
=6種,
故第七組沒有學(xué)生被抽到的概率為
6
15
=
2
5
,故第七組至少有一個學(xué)生被抽到的概率為 1-
2
5
=
3
5

(Ⅲ)估計該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分為 75×0.04+85×0.06+95×0.2+105×0.22+115×0.15+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110.4分.
點評:本題主要考查古典概率及其計算公式,頻率分步表的應(yīng)用,事件和它的對立事件概率間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
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(2013•聊城一模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
6
=0
相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)P(4,0),A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點,連接PB交橢圓C于另一點E,證明直線AE與x軸相交于點Q(1,0).

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(2013•聊城一模)已知某算法的流程圖如圖所示,若將輸出的(x,y)的值依次記為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),若程序運行中輸出的一個數(shù)組是(t,-8),則t為
81
81

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(2013•聊城一模)已知復(fù)數(shù)z=
3
+i
(1-i)2
,則|z|=( 。

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