Question

（本小題滿分14分）已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.

⑴ 求，滿足的關(guān)系式；

⑵ 若上恒成立，求的取值范圍；

⑶ 證明：（）

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）的取值范圍是 ；（3）見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行，可得f′（1）=a-b=2，即可求a，b滿足的關(guān)系式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，構(gòu)造新函數(shù)g（x）=f（x）-2lnx=-2lnx，x∈[1，+∞）則根據(jù)g（1）=0，g′（x），比較對應(yīng)方程根的大小，進(jìn)行分類討論，即可求得a的取值范圍；

（1），根據(jù)題意，即 ………3分

（2）由（1）知，，………4分

令，

則，=   ………5分

①當(dāng)時，  ，

若，則，在為減函數(shù)，存在，

即在上不恒成立．                   ………6分

②時，，當(dāng)時，，在增函數(shù)，又，

∴，∴恒成立．………7分

綜上所述，所求的取值范圍是 …………8分

（3）由（2）知當(dāng)時，在上恒成立．取得

令，得， 

即  ……10分

  

  

∴  ………11分

上式中令n=1，2，3，…，n，并注意到：

然后n個不等式相加得到  ………14分

考點(diǎn)：本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查不等式的證明。屬于中檔試題。

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解題，這是解決一般不等式恒成立問題的常用的方法，也是比較重要的方法。