Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對角線的交點．求證：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求A₁C與平面AB₁D₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)A₁C₁交B₁D₁于O₁，連結(jié)AO₁，由正方體的性質(zhì)證出四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，從而證出AO

∥

.

C₁O₁，得四邊形AOC₁O₁是平行四邊形，得C₁O∥AO₁，結(jié)合線面平行的判定定理即可得到C₁O∥面AB₁D₁；
（2）根據(jù)三垂線定理，由CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁和A₁C₁⊥B₁D₁證出A₁C⊥B₁D₁，同理證出A₁C⊥AB₁，從而可得直線A₁C⊥平面AB₁D₁，由此即可得到A₁C與平面AB₁D₁所成的角是90°．

解答：解：（1）連結(jié)A₁C₁交B₁D₁于O₁，連結(jié)AO₁，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁

∥

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CC₁，
∴四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，
∵O、O₁分別為AC、A₁C₁的中點
∴AO

∥

.

C₁O₁，可得四邊形AOC₁O₁是平行四邊形，得C₁O∥AO₁
∵C₁O?面AB₁D₁，AO₁?面AB₁D₁，
∴C₁O∥面AB₁D₁；
（2）∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁C₁是斜線A₁C在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)的射影
∵正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁
∴A₁C⊥B₁D₁，同理可得A₁C⊥AB₁
∵B₁D₁、AB₁是平面AB₁D₁內(nèi)的相交直線，∴A₁C⊥平面AB₁D₁
由此可得A₁C與平面AB₁D₁所成的角是90°．

點評：本題在正方體中證明線面平行，并求直線與平面所成角的大小．著重考查了正方體的性質(zhì)、線面平行和垂直的判定等知識，屬于中檔題．