Question

已知點(diǎn)A（0，-3），B（2，3），直線(xiàn)x+4y-1=0過(guò)拋物線(xiàn)y=ax²的焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，則△PAB面積的最小值是（　�。�

• A、

  3

  4

• B、

  5

  6

• C、

  4

  5

• D、

  2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出拋物線(xiàn)的方程，再求出與AB平行，且與拋物線(xiàn)相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出△PAB面積的最小值．

解答： 解：令x=0，可得y=

1

4

，∴拋物線(xiàn)y=ax²的焦點(diǎn)為（0，

1

4

），∴a=1，
∴拋物線(xiàn)的方程為y=x²，
∴y′=2x，
∵A（0，-3），B（2，3），
∴k_AB=

3+3

2-0

=3，
∴與AB平行，且與拋物線(xiàn)相切的切線(xiàn)斜率為3，
∴2x=3，
∴x=

3

2

，
∴切點(diǎn)為P（

3

2

，

9

4

），
∵直線(xiàn)AB的方程為y=3x-3，即3x-y-3=0，
∴P到直線(xiàn)AB的距離為

| 9 2 - 9 4 -3|

10

=

3

4 10

，
∵|AB|=

4+36

=2

10

，
∴△PAB面積的最小值是

1

2

•2

10

•

3

4 10

=

3

4

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．