Question

【題目】用一個平面去截直立放置的圓柱，得圓柱的下半部分如圖，其中為截面的最低點，為截面的最高點，為線段中點，為截面邊界上任意一點，作垂直圓柱底面于點，垂直圓柱于底面于點，垂直圓柱于底面于點，圓柱底面圓心為。已知為底面直徑，在以為直徑的圓周上，垂直底面，，，，以為原點，為軸正方向，圓柱底面為平面，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點。

（1）求點的坐標(biāo)，并求出與之間滿足的關(guān)系式；

（2）三視圖是解決立體幾何問題時的有效工具，將圓柱下半部分在平面上的投影作為主視圖，在平面上的投影作為俯視圖；在方框中作出主視圖，并說明理由；再求出左視圖所圍區(qū)域的面積；

（3）判斷截面的邊界是什么曲線，并證明.再指出截面的面積（不需要證明）

Answer 1

【答案】（1）;（2）主視圖見解析; （3）橢圓,證明見解析;

【解析】

（1）根據(jù)垂直圓柱于底面于點,即可得的坐標(biāo);由于位于底面的圓周上,結(jié)合圓的方程即可得與之間滿足的關(guān)系.

（2）根據(jù)幾何體,可得主視圖;畫出左視圖,即可求得左視圖圍成圖形的面積.

（3）根據(jù)平面截圓柱形成截面性質(zhì)可知所得截面為橢圓.根據(jù)橢圓的面積求法即可得截面面積.

（1）以為原點,為軸正方向,圓柱底面為平面,為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系

因為垂直圓柱于底面于點,且

所以

因為底面是以為圓心的圓,即位于圓上,圓心為,半徑為1

所以與之間滿足的關(guān)系為

（2）主視圖分別為在平面上的投影,所以主視圖如下所示:

左視圖如下圖所示:

該部分的面積為

（3）將圓柱補充完整,并作兩個內(nèi)切球,分別切截面于.過點作與兩個內(nèi)切球分別交于

由切線長定理可知,

所以

由于為定值,所以由橢圓定義可知,動點的軌跡為橢圓,即截面的邊界是橢圓

,

所以截面面積為